Zodpovedný riešiteľ: Doc. RNDr. Viktor Witkovský, CSc.

Riešiteľ (postdoktorand): Mgr. Barbora Arendacká, PhD.

Anotácia projektu

Projekt je zameraný na konštrukciu intervalov spoľahlivosti pre variančné komponenty v lineárnych zmiešaných modeloch s viac ako len dvomi variančnými komponentmi, a to najmä na intervaly odvodené metódou zovšeobecnenej inferencie. Konkrétne procedúry (približné alebo zovšeobecnené) boli doteraz navrhnuté len v špeciálnych prípadoch uvažovaného modelu a porovnané boli medzi sebou prevažne simulačne. Zámerom projektu je preto hlbšie študovať vlastnosti a vzťahy medzi už navrhnutými intervalmi spoľahlivosti, čo je dôležité pri výbere vhodnej procedúry v konkrétnej aplikácii ako aj pri navrhovaní nových procedúr s lepšími vlastnosťami, a následne rozšíriť okruh prípadov, v ktorých boli doteraz nejaké intervaly navrhnuté.

Dosiahnuté výsledky

V súlade s cieľmi projektu sme podrobne preskúmali intervalové odhady pre medziskupinovú varianciu v heteroskedastickom modeli jednoduchého triedenia s náhodnými efektmi. V literatúre publikované zovšeobecnené intervaly sme zjednotili poukázaním na ich príslušnosť k jednej z dvoch tried, ktoré sú analogické k triedam zovšeobecnených pivotov existujúcich v modeloch len s dvomi variančnými komponentmi. Navrhli sme tiež nový približný interval spoľahlivosti, ktorý sa v simuláciách javil byť rovnako dobrý alebo lepší ako iné, doteraz známe riešenia. Navyše je priamym zovšeobecnením intervalu, ktorý je v homoskedastickom prípade modelu považovaný za štandardné riešenie. Nad rámec cieľov projektu sme skúmali aj intervalové odhady pre pevný efekt v uvažovanom modeli. Ide o úlohu, ktorá je dôležitá napr. pri certifikovaní štandardných referenčných materiálov a motiváciou tiež bolo uplatniť aj na tento problém postupy, ktoré sa ukázali byť úspešné pri hľadaní približného intervalu pre varianciu náhodných efektov. Výsledkom bol jednoduchý interval, ktorého pravdepodobnosť pokrytia bola uspokojivá, ale jeho dĺžka nie vždy optimálna.

Rozbor výsledkov za celé obdobie riešenia vzhľadom na stanovené ciele

1. Ukázali sme, že heteroskedastický model jednoduchého triedenia s náhodnými efektmi je možné analyzovať analogicky k homoskedastickému prípadu tohto modelu. Po projekcii vektora pozorovaní na priestor kolmý k priestoru stredných hodnôt sme odvodili tvar minimálnej postačujúcej štatistiky a navrhli sme dve triedy zovšeobecnených pivotov, na základe ktorých možno konštruovať intervaly spoľahlivosti pre medziskupinovú varianciu. Ukázali sme, že v literatúre doteraz uvažované zovšeobecnené pivoty patria do týchto dvoch tried. Pivoty doteraz navrhnuté, ako aj doteraz neuvažovaný pivot, ktorý sa ale prirodzene ponúkal na použitie, sme navzájom porovnali v simulačnej štúdii (ich vzájomné porovnanie v literatúre chýbalo) z hľadiska pravdepodobnosti pokrytia, dĺžky a pravdepodobnosti pokrytia nuly. Výsledky boli publikované v práci: ARENDACKÁ, B.: Jednofaktorová heteroskedastická ANOVA - intervaly pre variančné komponenty. Informační bulletin České statistické společnosti 22 (3), 2010, 1-8.
2. Navrhli sme nový približný interval pre varianciu náhodného faktora (medziskupinovú varianciu) v heteroskedastickom modeli jednoduchého triedenia s náhodnými efektmi, ktorý sa v simuláciách ukázal byť porovnateľný, alebo lepší ako doteraz navrhnuté riešenia a navyše je výpočtovo relatívne jednoduchý. Taktiež je priamym zovšeobecnením tzv. Tukeyho-Williamsovho intervalu, ktorý sa v prípade homoskedastického vyváženého modelu považuje za štandarné riešenie problému. Výsledok bol práci: ARENDACKÁ, B.: Approximate interval for the between-group variance under heteroscedasticity. Journal of Statistical Computation & Simulation. First published on: 17 August 2011 (iFirst), 2011, DOI:10.1080/00949655.2011.606548.
3. V modeli dvojfaktorovej analýzy rozptylu s náhodnými efektmi bez interakcií sme preformulovali Burchom navrhnutý postup odvodenia zovšeobecnených pivotov cez postupné projekcie vektora pozorovaní na vhodné podpriestory. Tento pohľad zároveň prirodzene naznačil ako v danom modeli odvodiť aj druhý typ zovšeobecnených pivotov, ktoré Burch neuvažoval. Situácia sa ukázala byť analogická k modelu s dvomi variančnými komponentmi. Preformulovanie odvodenia pivotov cez projekcie priamo umožňuje odvodiť pivoty aj vo všeobecnom modeli s tromi variančnými komponentmi (t.j. s rovnakou štruktúrou kovariančnej matice ako v uvažovanom dvojfaktorovom modeli) za predpokladu, že potrebné projekcie budú nenulové. Konkrétne prípady, kedy by vo všeobecnosti táto priaznivá situácia nastala, sme však zatiaľ neskúmali. (Vysledky zatiaľ nepublikované.)
4. Pre pevný efekt, t.j. spoločnú strednú hodnotu, v heteroskedastickom modeli jednoduchého triedenia s náhodnými efektmi sme preskúmali možnosť použitia bootstrapu na konštrukciu intervalov spoľahlivosti a upozornili sme na potrebu starostlivého výberu odhadu variancie pri bootstrapových t-intervaloch, ktorá je nevyhnutná, ak má byť pravdepodobnosť pokrytia uspokojivá. Taktiež sme skúmali jednoduchý interval spoľahlivosti založený len na priemere a výberovej variancii jednotlivých laboratórnych priemerov, ktorému v literatúre nebola venovaná veľká pozornosť, ale ktorého pravdepodobnosť pokrytia sa ukázala byť veľmi uspokojivá v širokej škále konkrétnych prípadov uvažovaného modelu. Nevýhodou však je nie vždy optimálna dĺžka tohto intervalu. Výsledky boli publikované v zborníku konferencie Measurement 2011 a zaslané na publikáciu do Advanced Mathematical and Computational Tools in Metrology and Testing IX" (World Scientific Publ. Co., Singapore).
5. Navrhnutá bola nová metóda pre konštrukciu približných konfidenčných oblastí založená na metóde zovšeobecnenej vierohodnosti, ktorá úzko súvisí s metódou zovšeobecnených pivotov a metódami založenými na zovšeobecnenej fiduciálnej inferencii. Ukázali sme, že tento prístup možno využiť na konštrukciu presných konfidenčných oblastí pre variančné komponenty v normálnom lineárnom regresnom modeli s dvomi variančnými komponentami. Výsledky boli publikované v práci: WITKOVSKÝ, V.: O niektorých exaktných simultánnych konfidenčných oblastiach založených na funkcii vierohodnosti pre parametre normálneho LRM. Proceedings of the XIX. Summer School of Biometrics. Lednice, Czech Republic, 2011, 347-357, a v prezentované formou na dvoch konferenciách: WITKOVSKÝ, V.: Statistical inference for linear regression based on quantized observations. In: International Conference on Mathematical Sciences (ICMS) in Honour of Professor A.M. Mathai. St Thomas College Palai, Mahatma Gandhi University, Kottayam, Kerala, India, January 3-5, 2011, 6. St Thomas College Palai, Kottayam, Kerala, India. WITKOVSKÝ, V.: On some exact simultaneous likelihood-based confidence regions for two variance components. In: R. Harman, J. Somorčík, V. Witkovský, editors, PROBASTAT 2011 - The sixth international conference on Mathematical Statistics. Abstracts. Smolenice Castle, Slovak Republic, July 4-8, 2011, 2011, 42.

Najvýznamnejšie publikácie

ARENDACKÁ, B.: Approximate interval for the between-group variance under heteroscedasticity. Journal of Statistical Computation & Simulation (First published on: 17 August 2011 (iFirst)), 2011, DOI:10.1080/00949655.2011.606548.

ARENDACKÁ, B.: A note on fiducial generalized pivots for σ^2_A in one-way heteroscedastic ANOVA with random effects. Statistics (First published on: 02 February 2011 (iFirst)), 2011, DOI: 10.1080/02331888.2010.540669. 

ARENDACKÁ, B.: A simple confidence interval for the common mean. In: Advanced Mathematical and Computational Tools in Metrology and Testing IX. World Scientific Publ. Co., Singapore. 2011, Accepted for publication. 

ARENDACKÁ, B.: Bootstrap in common mean estimation - a case study. In: M. Tyšler, J. Maňka, V. Witkovský, editors, MEASUREMENT 2011, Proceedings of the 8th International Conference on Measurement Smolenice, Slovakia, April 27-30, 2011, 2011, 69-72. Institute of Measurement Science, Slovak Academy of Sciences, Bratislava.

ARENDACKÁ, B.: Jednofaktorová heteroskedastická ANOVA - intervaly pre variančné komponenty. Informační bulletin České statistické společnosti 22 (3), 2010, 1-8.